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    已知：如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点（1，
    		3
    ）和点A，过点A的直线y精英家教网=-
    		3
    3
    x+
    		3
    与y轴交于点B，点C为抛物线上的一个动点，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求出点B的坐标；
    （3）若S梯形OBED=
    4
    		3
    3
    ，求点C的坐标；
    （4）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，这些点是否在抛物线上，若在抛物线上，说明理由．
    分析：（1）要求抛物线的解析式，只要通过直线的解析式求出A点的坐标，再利用待定系数法就可以求出其抛物线的解析式．
    （2）当x=0时代入直线的解析式就可以求出对应的函数值，从而求出点B的坐标．
    （3）设出C点的坐标，表示出点E的纵坐标，表示出DE，根据梯形的面积公式建立等量关系就可以求出C点的坐标．
    （4）根据两三角形相似的性质，求出P点的坐标，然后代入抛物线的解析式确定是否在抛物线上．
    解答：解：（1）当y=0时，0=-
    		3
    3
    x+
    		3
    ，解得：x=3，
    ∴A（3，0）
    ∴
    		3
    =-1+b+c
    0=-9+3b+c
    解得：
    b=
    8-
    		3
    2
    c=
    3
    		3
    -6
    2

    ∴抛物线的解析式为：y=-x2+(4-
    		3
    2
    ) x    +
    3
    		3
    -6
    2


    （2）当x=0时，y=
    		3

    ∴B（0，
    		3
    ）

    （3）设C（m，n），则n=-m2+(4-
    		3
    2
    )    m+
    3
    		3
    -6
    2

    ∴C（m，-m2+(4-
    		3
    2
    )    m+
    3
    		3
    -6
    2
    ）
    E（m，-
    		3
    3
    m+
    		3
    ）
    ∴DE=-
    		3
    3
    m+
    		3
    ，OD=m，OB=
    		3

    ∴
    (-
    		3
    3
    m+
    		3
    +
    		3
    )m
    2
    =
    4
    		3
    3
    解得：
    m1=2，m2=4（舍去）
    ∴C（2，1+
    		3
    2
    ）．

    （4）存在．精英家教网
    ∵在Rt△AOB中，OA=3，OB=
    		3
    ，由勾股定理得AB=2
    		3
    ，
    ∴∠BAO=30°，
    当△OBA∽△BOP1时，
    ∴∠P1=30°，∠OBP1=90°，
    ∴OP1=2BO=2
    		3
    ，由勾股定理得：BP1=3，
    ∴P1（3，
    		3
    ），
    当△OBA∽△BP2O时，
    ∴∠BOP2=30°，∠OBP2=90°，
    由勾股定理得：BP2=1，
    ∴P2（1，
    		3
    ），
    当△OBA∽△P3BO时，∠BOP3=30°，∠BP3O=90°，
    ∴勾股定理得，BP3=
    		3
    2
    ，OP3=
    3
    2
    ，利用勾股定理可以求得：P3F=
    3
    4
    		3
    ，OF=
    3
    4
    ，
    ∴P3（
    3
    4
    ，
    3
    4
    		3
    ），
    当△OBA∽△P4OB时．∠OBP4=30°∠OP4B=90°，
    ∴OP4=
    		3
    2
    ，P4F=
    		3
    4
    ，OF1=
    3
    4
    ，
    ∴P4（
    3
    4
    ，
    		3
    4
    ），
    P点的坐标分别是：P1（3，
    		3
    ），P2（1，
    		3
    ），P3（
    3
    4
    ，
    3
    4
    		3
    ），P4（
    3
    4
    ，
    		3
    4
    ）．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，用解析式求函数的交点坐标，相似三角形的判定与性质，梯形的面积公式的运用．
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    （1）在图中，小明离家的路程y （米）与时间x （分）的函数图象是线段；
    A、OA     B、OB      C、OC      D、AB
    （2）分别求出线段OA与AB的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）；
    （3）已知小欣步行速度为每分50米，则小欣家与学校距离为多少米，小欣早晨上学需要多少分钟？

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    填写理由：
    如图所示，已知∠1=∠2，∠3=85°，求∠4的度数．
    解：∵∠1=∠2
    （已知）
    （已知）

    ∴a∥b
    （同位角相等，两直线平行）
    （同位角相等，两直线平行）

    ∴∠3=∠4
    （两直线平行，同位角相等）
    （两直线平行，同位角相等）

    ∵∠3=85°
    （已知）
    （已知）

    ∴∠4=85°．

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    科目：初中数学 来源：解题升级　　七年级数学 题型：044

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    （1）在图中，小明离家的路程y （米）与时间x （分）的函数图象是线段；
    A、OA     B、OB      C、OC      D、AB
    （2）分别求出线段OA与AB的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）；
    （3）已知小欣步行速度为每分50米，则小欣家与学校距离为多少米，小欣早晨上学需要多少分钟？

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