Question

7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，过点E作EH∥AB，交BC于H．
（1）求证：CE=BH．
（2）若AC=6，AB=10，CF=3，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）过E作EG∥BC交BD于G，由∠ACB=90°，CD为AB边上的高，得到∠CAF+∠CFA=90°，∠EAD+∠AED=90°，由于AF平分∠CAB，于是得到∠AED=∠AFC，通过四边形BGEH是平行四边形，则BH=EG，又通过证明△CEA≌△GEA（AAS），即可得到结论；
（2）根据勾股定理和面积公式得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=4.8，由FH∥AB得到$\frac{CE}{CD}=\frac{CH}{BC}$，求得CE=3，然后通过△CEH∽△CBD，即可得到结果．

解答 （1）证明：过E作EG∥BC交BD于G，
∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠EAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠AED=∠AFC，
又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），
∴∠CEF=∠CFE，
∵EG∥BC，EH∥AB，
∴四边形BGEH是平行四边形，则BH=EG，
∵∠AEC=∠ECF+∠CFE，∠AEG=∠AED+∠DEG，
又∵∠CEF=∠CFE=∠AED，∠ECF=∠DEG，
∴∠AEC=∠AEG，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAG，
在△CEA和△GEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECA=∠EGA}\\{∠CAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△CEA≌△GEA（AAS），
∴CE=GE，
∴CE=BH；

（2）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=4.8，
设CE=BH=x，则CH=8-x，
∵FH∥AB，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CH}{BC}$，即$\frac{x}{4.8}=\frac{8-x}{8}$，
解得：x=3，
∴CE=3，
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6.4，
∵FH∥AB，
∴△CEH∽△CBD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{EH}{BD}$，即$\frac{3}{4.8}=\frac{EH}{6.4}$，
∴EH=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．