Question

17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边F处，已知折痕AE=5$\sqrt{5}$，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$．
（1）证明：△AFB∽△FEC．
（2）求矩形ABCD周长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质与折叠的性质，易证得∠ABC=∠ECF=90°，∠BAF=∠EFC，继而证得△AFB∽△FEC；
（2）设FC=4xcm，EC=3xcm，继而求得AF=10xcm，则可求得x的值，继而求得答案．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∠ABC=∠ADC=∠ECF=90°．
∴∠AFE=∠ADE=90°，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
又∵∠AFB+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠EFC．
∴△AFB∽△FEC．

（2）∵tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{3}{4}$．
∴设FC=4xcm，EC=3xcm，
∴EF=5xcm，DE=EF=5xcm，AB=8xcm．
∵△AFB∽△FEC，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BF=6xcm．
AF=10xcm．
∴AF²+EF²=AE²=（5$\sqrt{5}$）²，
∴（10x）²+（5x）²=125．即x²=1．
∵x＞0，
∴x=1．
∴AB=8，BC=10，矩形ABCD的周长为36．

点评 此题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．