Question

20．已知，如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，2）．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，试说明BM=DM．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；
（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x的取值范围；
（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．

解答 解：
（1）∵正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，2），
∴2=3a，2=$\frac{k}{3}$，解得a=$\frac{2}{3}$，k=6，
∴正比例函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x，反比例函数表达式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）由图象可知当两函数图象在直线CD的左侧时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，
∵A（3，2），
∴当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）由题意可知四边形OCDB为矩形，
∵M（m，n），A（3，2），
∴OB=n，BM=m，OC=3，AC=2，
∴S_矩形OCBD=OC•OB=3n，S_△OBM=$\frac{1}{2}$OB•BM=$\frac{1}{2}$mn，S_△OCA=$\frac{1}{2}$OC•AC=3，
∴S_{四边形OADM}=S_矩形OCBD-S_△OBM-S_△OCA=3n-$\frac{1}{2}$mn-3，
当四边形OADM的面积为6时，则有3n-$\frac{1}{2}$mn-3=6，
又∵M点在反比例函数图象上，
∴mn=6，
∴3n=12，解得n=4，则m=$\frac{3}{2}$，
∵BD=OA=3，
∴M为BD中点，
∴BM=DM．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M的坐标表示出四边形OADM的面积是解题的关键．本题所考查知识点相对基础，难度不大．