Question

如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．
（1）求证：DE∥BC；
（2）求证：DE=

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（BC-AB）；
（3）若∠ABC=72°，求∠ADE的度数．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长AD交BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=BF，AD=DF，再判断出DE是△ACF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可；
（2）先求出FC．再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；
（3）根据等腰三角形两底角相等求出∠AFB，再根据两直线平行，内错角相等解答．

解答：（1）证明：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴AB=BF，AD=DF，
又∵E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE∥BC；

（2）证明：∵AB=BF，
∴FC=BC-AB，
∵DE是△ACF的中位线，
∴DE=

1

2

（BC-AB）；

（3）解：∵∠ABC=72°，
∴∠AFB=

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2

（180°-72°）=54°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AFB=54°．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，难点在于作辅助线构造出以DE为中位线的三角形．