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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知抛物线y=a（x-1）2+3
    		3
    （a≠0）经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？
    （3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
    分析：（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-1）2+3
    		3
    （a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
    （2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
    （3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．
    解答：解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+3
    		3
    （a≠0）经过点A（-2，0），
    ∴0=9a+3
    		3
    ，
    ∴a=-
    		3
    3
    （1分）
    ∴二次函数的解析式为：y=-
    		3
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+
    8
    		3
    3
    ；（3分）

    （2）①∵D为抛物线的顶点，
    ∴D（1，3
    		3
    ），
    过D作DN⊥OB于N，则DN=3
    		3
    ，AN=3，
    ∴AD=
    		32+(3
    		3
    )    2
    =6，
    ∴∠DAO=60°．（4分）
    ∵OM∥AD，精英家教网
    ①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，
    ∴OP=6，
    ∴t=6（s）．（5分）
    ②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
    过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
    ∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）
    ③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
    易证：△AOH≌△DPP′，
    ∴AH=CP，
    ∴OP=AD-2AH=6-2=4，
    ∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）

    （3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
    ∴OQ=6-2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，
    则PE=
    		3
    2
    t（8分）
    ∴SBCPQ=
    1
    2
    ×6×3
    		3
    -
    1
    2
    ×（6-2t）×
    		3
    2
    t
    =
    		3
    2
    （t-
    3
    2
    ）2+
    63
    8
    		3
    （9分）
    当t=
    3
    2
    时，四边形BCPQ的面积最小值为
    63
    8
    		3
    ．（10分）
    ∴此时OQ=3，OP=
    3
    2
    ，OE=
    3
    4
    ；
    ∴QE=3-
    3
    4
    =
    9
    4
    ，PE=
    3
    		3
    4
    ，
    ∴PQ=
    		PE2+QE2
    =
    		(
    3
    		3
    4
    )    2    +(
    9
    4
    )    2
    =
    3
    		3
    2
    ．（11分）
    点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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