Question

1．已知：如图，在锐角△ABC中，BD，CE分别是△ABC的AC，AB边上的高，在CE上截取CP=AB，过点P作PG⊥BC于G点，在BD的延长线上截取BQ=AC，过点Q作QF⊥BC于F点，求证：PG+QF=BC．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥BC于M．只要证明△PCG≌△BAM，推出PG=BM，同理可证△BQF≌△ACM，推出CM=FQ，推出PG+QF=BM+CM=BC．

解答 证明：如图，作AM⊥BC于M．

∵CE⊥AB，PG⊥BC，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠PGC=∠CEB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠ABM+∠PCG=90°，
∴∠BAM=∠PCG，
在△PCG和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCG=∠BAM}\\{∠PGC=∠AMB}\\{PC=AB}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△BAM（AAS），
∴PG=BM，
同理可证△BQF≌△ACM，
∴CM=FQ，
∴PG+QF=BM+CM=BC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的高等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．