Question

如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，

EC

BC

=

2

3

，求AC•EF的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对角相等可得∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，再根翻折的性质可得AG=CD，∠EAG=∠BCD，∠D=∠G，然后求出AB=AG，∠BAD=∠EAG，∠B=∠G，再求出∠BAE=∠GAF，然后利用“角边角”证明即可；
（2）连接CF，根据翻折的性质及全等三角形对应边相等可得EC=AE=AF，然后求出四边形AECF是平行四边形，再求出?AECF是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得AC•EF=2×菱形AECF的面积，再求出△AEC的面积，然后计算即可得解．

解答：（1）证明：在?ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵?ABCD纸片沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处，
∴AG=CD，∠EAG=∠BCD，∠D=∠G，
∴AB=AG，∠BAD=∠EAG，∠B=∠G，
∵∠BAD=∠BAE+∠EAF，∠EAG=∠GAF+∠EAF，
∴∠BAE=∠GAF，
在△ABE和△AGF中，

∠B=∠G AB=AG ∠BAE=∠GAF

，
∴△ABE≌△AGF（ASA）；

（2）解：连接CF，∵△ABE≌△AGF，
∴AE=AF，
根据翻折的性质EC=AE，
∴EC=AE=AF，
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
根据翻折后点A、C重合，∴AC⊥EF，
∴?AECF是菱形，
∴AC•EF=2×菱形AECF的面积，
∵?ABCD的面积=8，

EC

BC

=

2

3

，
∴△AEC的面积=

1

2

×8×

2

3

=

8

3

，
∴菱形AECF的面积等于

16

3

，
∴AC•EF=2×菱形AECF的面积=

32

3

．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，翻折变换，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，（2）求出四边形AECF是菱形并熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．