Question

（2013年浙江义乌12分）如图1，已知（x＞）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，取AQ的中点为C．

（1）如图2，连结BP，求△PAB的面积；

（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为，求此时P点的坐标；

（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）。

（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC。

∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，∴BC=CQ=AQ。∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°。

在△ABQ和△ANQ中，∵，∴△ABQ≌△ANQ（SAS）。

∴∠BAQ=∠NAQ=30°。∴∠BAO=30°。

∵S_{四边形BQNC}=，∴BQ=2。∴AB=BQ=。∴OA=AB=3。

又∵P点在反比例函数的图象上，∴P点坐标为（3，2）。

（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=。

∵△AOB∽△DBA，∴。∴BD=3。

①如图2，当点Q在线段BD上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=AQ。

∵四边形BNQC是平行四边形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD。

∴，∴BQ=CN=BD=。

∴AQ=2。

∴C_{四边形BQNC}=。

②如图3，当点Q在线段BD的延长线上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，

∴BC=CQ=AQ。

∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ。

∴。∴BQ=3BD=9。

∴。

∴C四边形BNQC=2AQ=。

【解析】（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积。

（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后根据SAS证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S_{四边形BQNC}=求出OA=3，于是P点坐标求出。

（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段考点：反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应用。

BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长。