Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD．

∵E是AD的中点，

∴DE=AE，

在△AEF与△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）答：四边形AFBD为矩形；

解：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD为平行四边形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴四边形AFBD为矩形；

（3）解：AB=AC，且∠BAC=90°；

∵AB=AC，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=45°，

∴AD=DB，

∴四边形AFBD为正方形．

【解析】（1）证明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根据条件AF=BD可利用等量代换可得BD=CD；（2）首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形；（3）当AB=AC，且∠BAC=90°时，四边形AFBD为正方形，首先证明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，进而可得四边形AFBD为正方形．
【考点精析】关于本题考查的矩形的判定方法和正方形的判定方法，需要了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角才能得出正确答案．