Question

如图①，点A、B是双曲线（k>0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且，△AGB的面积为2．

（1）求双曲线的解析式；
（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持不变（如图②），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OCGF是正方形，∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°．
         ∵OC² =，∴OC=CG=GF=OF=1．
       ∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．
       ∵点、是双曲线上的点，
       ∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为．
        ∴AC=k，BF=k． ∴AG=k-1，BG=k-1． 
        ∵∠AGB=∠CGF=90°， ∴S_△AGB =AG·BG==2．
           解得x=3（取正值）．
       ∴反比例函数的解析式为；
（2）点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变，
理由如下：设矩形OCGF的边OC=m，∵= OC·OF=1，∴OF=．
      ∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为．    
     ∵点A、B是双曲线上的点， 
     ∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为
     ∴AC=，BF=3 m．又FG= OC=m，CG= OF=． 
     ∴AG= AC-CG=-=，BG=BF-FG=3 m-m =2 m
     ∴S_△AGB =AG·BG=··2 m=2．
    ∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．