Question

25、友情提示：本题有A、B两题，请你任选一题作答，A题满分9分，B题满分12分．若两题都做，只能按A题评分．
（A题）如图所示，四边形OABC与ODEF均为正方形，CF交OA于P，交DA于Q．
（1）求证：AD=CF．
（2）AD与CF垂直吗？说说你的理由．
（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，（1），（2）的结论是否有变化（不需说明理由）．
（B题）如图所示，用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线、EF的延长线相交于点G、H时，你在（1）中得到的结论还成立吗？请画出图形并简要说明理由．

Answer 1

分析：A：（1）可通过证明△AOD和△COF全等．
（2）要证AD⊥CF，就要证明∠APQ+∠OAD=90°，由（1）的全等三角形我们可知：∠OCF=∠OAD，而对顶角∠CPO=∠OAD，因此可得出：∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°，也就是∠AQP=90°，那么垂直就证出来了．
（3）结论是不会改变的，因为不管怎么变化都要经过证明三角形AOD和COF全等来得出，而这两个三角形的全等条件中，两组对应边都是正方形的边长，不会改变，而这两组对应边的夹角都是90°加上或减去同一个角，因此也相等，由此可得出，这两个三角形必然全等，（1）（2）的条件自然成立．
B：（1）要证BG=EH，关键是要证明CG=FH，也就是必须得出三角形CDG和FDH全等．
（2）同（1）的证法完全一样．

解答：（A题）
（1）证明：∵四边形OABC与ODEF均为正方形，
∴AO=CO，∠AOC=∠DOF=90°，OD=OF，
∴∠AOD=∠COF，
∴△AOD≌△COF，
∴AD=CF．
（2）AD⊥CF
理由为：∵△AOD≌△COF，
∴∠OCF=∠OAD，
∴∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°，
∴∠AQP=90°，
即AD⊥CF．
（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，（1）（2）的结论不会发生变化．

（B题）
解：
（1）BG=EH，
∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠CDG=∠FDH，
∴△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）结论BG=EH仍然成立．
同理可证△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

点评：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．通过全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．