Question

5．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；
（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．

解答 解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可求得：AB=10，
由题意知：OQ=AP=t，
∴AC=2t，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{OA}$，
∴AD=$\frac{6}{5}t$，
当Q与D重合时，
AD+OQ=OA，
∴$\frac{6}{5}t$+t=6，
∴t=$\frac{30}{11}$；

（2当⊙Q经过A点时，如图1，
OQ=OA-QA=4，
∴t=$\frac{4}{1}$=4s，
∴PA=4，
∴BP=AB-PA=6，
过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，
连接PF，
∴PE∥OA，
∴△PEB∽△AOB，
∴$\frac{PE}{OA}=\frac{BP}{AB}$，
∴PE=$\frac{18}{5}$，
∴由勾股定理可求得：EF=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$，
由垂径定理可求知：FG=2EF=$\frac{4\sqrt{19}}{5}$；

（3）当QC与⊙P相切时如图2，
此时∠QCA=90°，
∵OQ=AP=t，
∴AQ=6-t，AC=2t，
∵∠A=∠A，
∠QCA=∠AOB，
∴△AQC∽△ABO，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AC}{OA}$，
∴$\frac{6-t}{10}=\frac{2t}{6}$，
∴t=$\frac{18}{13}$，
∴当0＜t≤$\frac{18}{13}$时，⊙P与QC只有一个交点，
当QC⊥OA时，
此时Q与D重合，
由（1）可知：t=$\frac{30}{11}$，
∴当$\frac{30}{11}$＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，
综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤$\frac{18}{13}$或$\frac{30}{11}$＜t≤5．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．