分析 (1)连接CD,由圆周角定理得出∠ADC=90°,∠BAC=∠EDC,得出∠ADB+∠EDC=90°,证出∠EAC=90°,即可得出结论;
(2)连接BC,由圆周角定理得出∠ABC=90°,∠CBA=∠ABC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出AB=$\frac{1}{2}$EF=BF,得出∠BAC=∠AFE,证明△EAF∽△CBA,得出$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$,求出AB,再根据勾股定理求出AE即可.
解答 (1)证明:如图1所示:连接CD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°,
∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,即EA⊥OA,
∴EA是⊙O的切线;
(2)解:如图2所示:连接BC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵∠EAF=90°,B是EF的中点,
∴AB=$\frac{1}{2}$EF=BF,
∴∠BAC=∠AFE,
∴△EAF∽△CBA,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$,
∵⊙O的半径为3,CF:AF=1:2,
∴AC=6,AF=4,CF=2,
∴$\frac{4}{AB}=\frac{2AB}{6}$,
解得:AB=2$\sqrt{3}$,
∴EF=4$\sqrt{3}$,
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理;本题有一定难度,特别是(2)中,需要证明三角形相似和勾股定理才能得出结果.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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