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    如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

    （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
    （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
    （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
    【答案】分析：（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
    （2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
    （3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
    解答：证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
    ∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，
    ∵MD=ME，
    ∴∠MAD=∠MAE，
    ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
    即∠BAM=∠CAM，
    在△ABM和△ACM中，，
    ∴△ABM≌△ACM（SAS），
    ∴MB=MC；

    （2）MB=MC．
    理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，
    ∴BD=BE′，CE=CF，
    ∵M是ED的中点，B是DE′的中点，
    ∴MB∥AE′，
    ∴∠MBC=∠CAE，
    同理：MC∥AD，
    ∴∠BCM=∠BAD，
    ∵∠BAD=∠CAE，
    ∴∠MBC=∠BCM，
    ∴MB=MC；

    （3）MB=MC还成立．
    如图4，延长BM交CE于F，
    ∵CE∥BD，
    ∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，
    又∵M是DE的中点，
    ∴MD=ME，
    在△MDB和△MEF中，，
    ∴△MDB≌△MEF（AAS），
    ∴MB=MF，
    ∵∠ACE=90°，
    ∴∠BCF=90°，
    ∴MB=MC．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
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    在数学活动课上，老师要求同学们先做下面的“循环分割”操作，然后再探索规律：
    如图1，是一等腰梯形纸片，其腰长与上底长相等，且底角分别60°和120°，按要求开始操作（每次分割，纸片均不得留有剩余）；
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    第1次分割：将原等腰梯形纸片分割成3个等边三角形；
    第2次分割：将上次分割出的一个等边三角形分割成3个全等的等腰梯形，然后将刚分割出的一个等腰梯形分割成3个等边三角形；
    以后按第2次分割的方法进行下去…请解答下列问题：
    （1）请你在图2中画出前两次分割后的图案；
    （2）若原等腰梯形的面积为a，请你通过操作、观察，将第2次，第3次分割后所得的一个最小等边三角形的面积分别填入下表：
     
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    一个最小等边三角形的面积（S）
    1
    3
    a    		     …
    （3）请你猜想，分割所得的一个最小等边三角形面积S与分割次数n有何关系？（请直接用含a的式子表示，不需写推理过程）

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