Question

11．给出下列算式：3²-1²=8=8×1；
5²-3²=16=8×2；
7²-5²=24=8×3；
9²-7²=32=8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）．
（3）计算 2011²-2009²=8032，此时n=1004．

Answer 1

分析 （1）等式的左边是两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数；
（2）根据已知数据得出两连续奇数的平方差的规律即可；
（3）根据（2）中的规律，即可解答．

解答 解：（1）规律：等式的左边是两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数；
（2）∵3²-1²=8=8×1，5²-3²=16=8×2，7²-5²=24=8×3，9²-7²=32=8×4，…
∴设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
（3）2n+1=2011，
解得：n=1005，
∴2011²-2009²=8×1005=8040．
故答案为：8040，1005．

点评 本题考查了平方差公式，解决本题的关键是观察等式的规律时，既要分别观察等式的左边和右边，还要注意两边之间的联系．