Question

4．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=$\frac{4}{5}$，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

Answer 1

分析 （1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．

解答 解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=$\frac{BE}{AB}$，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6$\sqrt{3}$，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=$\frac{CD}{CE}$，∠E=30°，
∴CE=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴BC=BE-CE=6$\sqrt{3}$-8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{DE}$，
解得，DE=$\frac{16}{3}$，
∴AD=AE-DE=10-$\frac{16}{3}$=$\frac{14}{3}$，
即AD的长是$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．