Question

24、如图给出四个条件：①PA切⊙O于点A；②PB切⊙O于B；③AC为⊙O直径；④弦CB∥PO．
（1）上述四个条件中任选取三个作为题设，第四个作为结论，写出一个正确命题．
（2）证明这个命题．
已知：

如果①②③，

求证：

那么④．

证明：

Answer 1

分析：题中的四个结论，可任选3个为题设进行证明，思路大致相同；以选①②③为题设，④为结论进行说明．由于PA、PB为⊙O的切线，可得出的条件有两个：①△OBP和△OAP是直角三角形；②PA=PB；由此易证得△OBP≌△OAP，即∠PBO=∠POA；由于∠BOA是△BOC的外角，可证得∠POA=∠BCO，由此证得CB∥PO．

解答：解：（1）正确命题有4个，写出1个即可；
命题-：如果①②③，那么④．命题二：如果①②④，那么③．
命题三：如果②③④，那么①．命题四：如果③④①，那么②．

（2）写出已知：PA切⊙O于点A；PB切⊙O于B；AC为⊙O直径，求证：CB∥PO
证明：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于B；
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB；
又∵OP=OP，
∴△PBO≌△PAO；
∴∠AOP=∠POB；
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO；
∵∠AOB=∠AOP+∠POB=2∠AOP=2∠C，
∴∠C=AOP；
∴CB∥PO．

点评：本题考查的是切线长定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系以及平行线的判定．