Question

【题目】如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=，∠BAD=60°，且AB＞．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=10，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）AP的最大值为12，AP的最小值为6．

【解析】

试题分析：（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．

（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．

试题解析：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．

∵PE=PF=6，EF，∴FG=EG=，∠FPG=∠EPG=∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°；

（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．

∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=；

（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．