Question

已知二次函数．

1. 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

2. 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；

3.将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.证明：令y=0,则．

∵△=,             

又∵，  ∴．即△>0．

∴无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根．

∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．    

2.解：∵二次函数的图象经过点（3，6）,

 ∴ .解得 .  

 ∴二次函数的解析式为

3.解：将向下平移2个单位长度后得到解析式为：

  解方程组   得      

  ∴直线与抛物线的交点为 

∴点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是.

      设过点、的直线解析式为．

     ∴     解得

∴直线的解析式为.

∴直线与x轴的交点为.                       

与直线的交点为.                          

则点、 为所求．

过点做，∴，.

在Rt△中，.

∴所求最短总路径的长为.

【解析】略