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精英家教网如图,在平面直角坐标系中直线AC交x轴于点A,交y轴于点C,过点C作直线CB⊥AC交x轴于点B,且AB=25,AO:CO=3:4,点P在线段OC上,且PO、PC的长是关于x的方程x2-12x+32=0的两根(PO<PC)
(1)求AC、BC的长;
(2)若M为线段BC的中点,求直线PM的解析式;
(3)在平面内是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
分析:(1)解方程x2-12x+32=0,可得到PO、PC的长,即得到OC,再由AO:CO=3:4,得到OA的长,根据勾股定理可计算出AC和BC;
(2)取OB的中点N,连接MN,根据中位线的性质可确定M的坐标,然后根据待定系数法设直线PM为:y=kx+b,把P和M的坐标代入即可确定直线PM的解析式;
(3)分别以A、C、P为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形,根据四边形的性质即可得到Q的坐标.
解答:精英家教网解:(1)解方程x2-12x+32=0,得x1=4,x2=8,
∵PO<PC,
∴PC=8,PO=4,OC=PC+PO=12,
∵AO:CO=3:4,
∴AO=
3×12
4
=9,
在Rt△ABC中,AC=
OC2OA2
=15,
∵CB⊥AC,
∴在Rt△ABC中,BC=
AB2-AC2
=20;

(2)取OB的中点N,连接MN,
∵M是BC的中点,OB=16,
∴MN=
1
2
OC,MN∥OC,
∴M(8,6),P(0,4),
设直线PM为:y=kx+b,则
8k+b=6
b=4

解得:k=
1
4
,b=4
∴直线PM:y=
1
4
x+4;

(3)存在.Q点的坐标分别为:
(-9,-8),(-9,8),(9,16).
点评:本题考查了利用待定系数法求直线的解析式:设直线P为:y=kx+b,然后把两个点的坐标代入确定k,b.也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质.
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BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
29
5
29

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5

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k
x
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k
x
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(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时,求直线CP的解析式;
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