Question

19．如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
（1）求证：△EDC≌△HFE；
（2）连接BE、CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论．
②当AB与BC的比值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，四边形BEHC为菱形．

Answer 1

分析 （1）依据题意可得到FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，利用平行线的性质可证明∠FHE=∠CED，然后依据AAS证明△EDC≌△HFE即可；
（2）①由全等三角形的性质可知EH=EC，由旋转的性质可得到BC=EC，从而可证明EH=BC，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；②连接BE．可证明△EBC为等边三角形，则∠ABE=30°，利用特殊锐角三角函数值可得到AB：BE=$\sqrt{3}$：2．

解答 解：（1）∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，
∴∠FHE=∠CED．
在△EDC和△HFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠EDC}\\{∠FHE=∠CED}\\{EF=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDC≌△HFE．
（2）①四边形BEHC为平行四边形，
∵△EDC≌△HFE，
∴EH=EC．
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴EH=EC=BC，EH∥BC，
∴四边形BEHC为平行四边形．
②连接BE．

∵四边形BEHC为菱形，
∴BE=BC．
由旋转的性质可知BC=EC．
∴BE=EC=BC．
∴△EBC为等边三角形．
∴∠EBC=60°．
∴∠ABE=30°．
∴AB：BE=$\sqrt{3}$：2．
又∵BE=CB，
∴AB与BC的比值=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键．