Question

【题目】定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。

（1）如图1,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60得到△DBE,∠DCB=30，连接AD，DC，CE

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：四边形ABCD是勾股四边形。

（2）如图2已知等边ABC的边长等于4平面上存在一点P若使四边形PABC形成勾股四边形且PC=2，PA,PC不能同时成为一组勾股边，直接写出此时PBC的面积。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7.

【解析】

(1) ①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE，从而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE为等边三角形；②由①可得∠BCE=60°，从而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题．

（2）根据题意可知BC和BA应组成勾股边，由此计算出PB的平方的值，过点B做PC延长线上的垂线，垂足为D，设DC=x，在△PBD中根据勾股定理可计算出x的值，即可求出BD的长度，以PC为底，BD为高即可求出PBC的面积.

(1)①∵△ABC绕点B顺时针旋转了60°到△DBE，

∴BC=BE,∠CBE=60°，

∵在△BCE中,BC=BE,∠CBE=60°

∴△BCE是等边三角形.

②∵△BCE是等边三角形，

∴BC=CE,∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，

在Rt△DCE中,有DC2+CE2=DE2，

∵DE=AC，BC=CE，

∴DC2+BC2=AC2，

∴四边形ABCD是勾股四边形.

（2）②如图，

∵由条件已知PC和PA，PA和BA,PC和BC无法组成勾股边

∴若使四边形PABC形成勾股四边形

∴BC和BA应组成勾股边

∴PB2=BC2+BA2=32

如图过点B做PC延长线上的垂线，垂足为D

设CD为x,则BD2=16-x2

∵PB2=(PC+CD)2+BD2

∴32=(2+x)2+16-x2

解得x=3

∴BD=7

∴SPBC=2×7×=7

则PBC的面积为7.