Question

1．如图一，Rt△EFG中，∠F=90°，∠EGF=30°，EG=2，菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AB=6，∠BAD=60°，G、A、E、B点在同一条直线上，E点和A点重合，将△EFG沿AC方向以每秒2个单位的速度平移，运动时间记为t，当G点到达BD边上时停止运动，
（1）填空：菱形ABCD的面积为18$\sqrt{3}$，t=2$\sqrt{3}$时，G点刚好落在BD边上；
（2）将△EFG与△AOD的重叠部分面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出相应自变量取值范围；
（3）如图2，当△EFG停止移动时，将△EFG绕点E顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），直线FG与直线BC、直线AC分别交于M点、N点，当△CMN为直角三角形时，直接写出MN的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意知，菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
根据AB=6，分别计算OA、OB的长，求出对角线AC、BD的长，根据菱形面积=两条对角线乘积一半可求出面积；再计算OE的长，则t=（AO+OE）÷2；
（2）当F在AD上时，如图3，求出此时的t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；当G在AD上，E在AC上时，如图4，求出此时的t=$\sqrt{3}$；
分四种情况进行讨论：
①当0＜t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，重叠部分的面积S为等边△PEM的面积，如图5，
②当$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤$\sqrt{3}$时，重叠部分的面积S为四边形MPEF的面积，如图6，利用等边三角形的面积减去△MNF的面积；
③当$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，重叠部分的面积S为△EFG的面积，如图7，
④当$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分的面积S为△PGM的面积，如图8，
（3）分四种情况：当α=60°、90°、240°、270°时，分别利用30°角的三角函数列式求出MN的长．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=3，
∴AO=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$，BD=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；
如图2，在Rt△FGE中，EG=2，∠FGE=30°，
∴EF=1，FG=$\sqrt{3}$，
如图1，∵∠EGF=∠OAB=30°，
∴FG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴FG⊥BD，
∴∠FGO=∠GOE=∠F=90°，
∴四边形GOEF为矩形，
∴OE=FG=$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{AE}{2}$=$\frac{AO+OE}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
故答案为：18$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$；
（2）当F在AD上时，如图3，
由题意得：AE=2t，
∵FG∥AC，
∴∠GFA=∠FAE=30°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
∵∠GEF=60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴∠EPF=60°，
∴∠AEP=60°-30°=30°，
∴∠AEF=∠AEP+∠GEF=30°+60°=90°，
∵EF=$\frac{1}{2}$EG=1，
tan∠FAE=$\frac{EF}{AE}$，
tan30°=$\frac{1}{AE}$，
AE=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当G在AD上，E在AC上时，如图4，
∵EG∥DC，
∴△AGE∽△ADC，
∴$\frac{EG}{DC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{2}{6}=\frac{AE}{6\sqrt{3}}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴此时t=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
分四种情况：
①当0＜t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，重叠部分的面积S为△PEM的面积，如图5，
同理得：Rt△AEM，∠MAE=30°，△PME是等边三角形，
tan∠MAE=$\frac{ME}{AE}$，
tan30°=$\frac{ME}{2t}$，
ME=2t$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=S_△PEM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$）2=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$；
②当$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤$\sqrt{3}$时，重叠部分的面积S为四边形MPEF的面积，如图6，
延长EF交AD于N，
同理得：EN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，△NPE是等边三角形，
∴FN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1，
∵∠PNE=60°，
在Rt△MNF中，tan60°=$\frac{FM}{FN}$，
FM=FN•tan60°=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1）×$\sqrt{3}$=2t-$\sqrt{3}$，
∴S=S_△NPE-S_△MNF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2-$\frac{1}{2}$•FN•FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$（2t-$\sqrt{3}$）（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$+2t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③当$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，重叠部分的面积S为△EFG的面积，如图7，
S=S_△EFG=$\frac{1}{2}$EF•FG=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④当$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分的面积S为△PGM的面积，如图8，
∵AE=2t，
∴OE=2t-3$\sqrt{3}$，
∵FG∥AC，
∴∠AEG=∠G=30°，
tan30°=$\frac{OP}{OE}$，
OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-3$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$-3，
∴PM=1-OP=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+3=4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$，
∵FM=OE=2t-3$\sqrt{3}$，
∴GM=$\sqrt{3}$-FM=$\sqrt{3}$-2t+3$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$-2t，
∵∠G=30°，∠GPM=∠OPE=60°，
∴∠PMG=90°，
∴S=S_△PGM=$\frac{1}{2}$PM•MG=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）（4$\sqrt{3}$-2t）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-8t+8$\sqrt{3}$；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}（0＜t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+2t-\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}（\sqrt{3}＜t≤\frac{3\sqrt{3}}{2}）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}-8t+8\sqrt{3}（\frac{3\sqrt{3}}{2}＜t≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
（3）①当α=60°时，如图9，
∴∠FEN=90°-60°=30°，
∵∠EFN=90°，
∴∠ENF=60°，
∴∠MNC=∠ENF=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠NMC=90°，
∴△MNC是直角三角形，
∵EG∥OD，
∴△CEG∽△COD，
∴$\frac{EG}{OD}=\frac{CG}{CD}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{CG}{6}$，
∴CG=4，
Rt△GMC中，∠MGC=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CG=2，
tan30°=$\frac{MN}{CM}$，
MN=CM•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当α=90°时，如图10，
此时，F与N重合，所以∠MNC=∠EFG=90°，
即△MNC是直角三角形，
NC=OC-OE-EF=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-1=2$\sqrt{3}$-1，
tan30°=$\frac{MN}{NC}$，
MN=NC•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$-1）=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
③当α=240°时，如图11，
此时，G和M重合，
EC=OC-OE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
Rt△GEC中，cos30°=$\frac{CE}{CG}$，
CG=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
在Rt△NMC中，tan30°=$\frac{MN}{CG}$，
MN=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
④当α=270°时，如图12，
此时F与N重合，
ON=OE-EF=$\sqrt{3}$-1，
∴CN=3$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-1）=2$\sqrt{3}$+1，
tan30°=$\frac{MN}{CN}$，
MN=CN•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$+1）=2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是几何变换的综合题，比较复杂，考查了菱形的性质，30°的直角三角形的性质等，在求重叠部分面积时，要先将特殊位置时的重叠时间依次求出，再分情况进行讨论；对于旋转所组成的直角三角形，要将所有情况一一画出，并分情况求出MN的值．