Question

3．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为（-1，-6）．

Answer 1

分析 解法1：将点A绕着点B顺时针旋转90°得到点D，连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，进而得到点D在射线AC上，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得D（1，0），再根据待定系数法求得直线AC的解析式，最后解方程组即可得到点C的坐标；
解法2：先过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，可得PF=$\frac{3}{2}$，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，构造△ADP≌△ADH，再设DE=x，则DH=DP=x+$\frac{3}{2}$，FD=1+2-x=3-x，在Rt△PDF中，根据PF²+DF²=PD²，可得方程（$\frac{3}{2}$）²+（3-x）²=（x+$\frac{3}{2}$）²，进而得到D（1，0），即可得出直线AD的解析式为y=3x-3，最后解方程组即可得到D点坐标．

解答 解法1：如图所示，将点A绕着点B顺时针旋转90°得到点D，连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
由题可得，∠BAC=45°，
∴点D在射线AC上，
由点A（2，3）和点B（0，2），可得D（1，0），
设AC的解析式为y=ax+b，
把A（2，3），D（1，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{3=2a+b}\\{0=a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴C（-1，-6），
故答案为：（-1，-6）．

解法2：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
由A（2，3），可得OF=1，
当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，即P（-1，$\frac{3}{2}$），
∴PF=$\frac{3}{2}$，
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，
∴PD=HD，PG=EH=$\frac{3}{2}$，
设DE=x，则DH=DP=x+$\frac{3}{2}$，FD=1+2-x=3-x，
Rt△PDF中，PF²+DF²=PD²，
即（$\frac{3}{2}$）²+（3-x）²=（x+$\frac{3}{2}$）²，
解得x=1，
∴OD=2-1=1，即D（1，0），
根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y=3x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴C（-1，-6），
故答案为：（-1，-6）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形或正方形，依据旋转的性质或勾股定理列方程进行求解．