Question

【题目】问题探究：如图①，在正方形中，点在边上，点在边上，且．线段与相交于点，是的中线．

（1）求证：；

（2）线段与之间的数量关系为 ．

问题拓展：如图②，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，，线段与相交于点．若是的中线，则线段的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析；问题拓展：

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠BAD=∠D=90°，AB=DA，由SAS证明△ABE≌△DAF即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠ABE=∠DAF，证出∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=2GH；

问题拓展：由三角函数得出∠ABE=∠DAF，证出∠BGF=90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=2GH，由矩形的性质得出∠C=90°，BC=AD=6，CD=AB=4，得出CF=CD-DF=1，由勾股定理求出BF=，即可得出GH的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，AB=DA，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS）；

（2）解：BF=2GH；理由如下：

∵△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°，

在Rt△BFG中，GH是边BF的中线，

∴BF=2GH；

问题拓展：

解：∵tan∠ABE=，tan∠DAF=，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AGB=90°，

∴∠BGF=90°，

在Rt△BFG中，GH是边BF的中线，

∴BF=2GH，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，BC=AD=6，CD=AB=4，

∴CF=CD-DF=1，

∴BF=，

∴GH=BF=；

故答案为：．