Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列结论中正确的是①②③．
①DB=DC；       
②AC+AB=2CM；
③AC-AB=2AM；  
④S_△ABD=S_△ABC．

Answer 1

分析 由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC-AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正确的；S_△ABD和S_△ABC的大小无法判断．

解答 解：过点D作DF⊥BE于F，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此选项正确；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠ACD}\\{∠DFB=∠DMC}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；
∴③AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；
S_△ABD和S_△ABC的大小无法判断，④错误，
故答案为：①②③．

点评 本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键．