Question

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

Answer 1

解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=，
①若PB=PC，设PA=x，则，∴，即PA=，
②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，
由图知，在Rt△PAB中，不可能。故PA=2或。