Question

2．如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，求PD的值．

Answer 1

分析 设PD为x，则PC=7-x，由于∠D=∠C，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{DA}{CB}$=$\frac{DP}{CP}$时，△DAP∽△CBP，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{7-x}$；当$\frac{DA}{CP}$=$\frac{DP}{CB}$时，△DAP∽△CPB，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{4}$，然后分别解方程求出x即可．

解答 解：设PD为x，则PC=7-x，
∵∠D=∠C，
∴当$\frac{DA}{CB}$=$\frac{DP}{CP}$时，△DAP∽△CBP，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{7-x}$，解得x=$\frac{7}{3}$；
当$\frac{DA}{CP}$=$\frac{DP}{CB}$时，△DAP∽△CPB，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{4}$，解得x₁=$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
所以DP的长为$\frac{7}{3}$或$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．