Question

如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A(1，0)，B(0，)（2）（3）；；；

解：（1）
，······················· （1分）
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
··························· （2分）
（2）求得························· （3分）

（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）················ （6分）
（3）；；；（每个1分，计4分）
（1）根据条件，可求得OB=，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0， ）；
（2）在直角三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，S=S_△ABC-S_△APC=-t
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．可知满足条件的有四个．