Question

已知关于x的方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若一元二次方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．且|x₁﹣x₂|=2，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵△=b²﹣4ac
=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2），
=（3m﹣1）²﹣8m²+8m，
=9m²﹣6m+1﹣8m²+8m，
=m²+2m+1，=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≠0，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）∵一元二次方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
|x₁﹣x₂|=2，
∴x₁+x₂=﹣=，x₁x₂==；
∴（x₁﹣x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²﹣2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂﹣4x₁x₂=4，
∴（x₁+x2）²﹣4x₁x₂=4，
∴（）²﹣4×=4，
∴整理得：﹣3m²+2m﹣1=0，
解得：m₁=1，m₂=﹣，
∴一元二次方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x₁，x₂，
且|x₁﹣x₂|=，m的值为1或﹣．