如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,4),点A在线段OP上,点B在x轴正半轴上,且AP=OB=t,0<t<4,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD;过点C、D依次向x轴、y轴作垂线,垂足为M,N,设过O,C两点的抛物线为y=ax2+bx+c.
(1)填空:△AOB≌△ ≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标:A(0, );
(2)求点C的坐标,并用含a,t的代数式表示b;
(3)当t=1时,连接OD,若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O,求a的取值范围;
(4)当抛物线开口向上,对称轴是直线x=2﹣,顶点随着的增大向上移动时,求t的取值范围.
解:(1)如图,∵∠DNA=∠AOB=90°,
∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等).
在△AOB与△DNA中,,
∴△AOB≌△DNA(SAS).
同理△DNA≌△BMC.
∵点P(0,4),AP=t,
∴OA=OP﹣AP=4﹣t.
故答案是:DNA或△DPA;4﹣t;
(2)由题意知,NA=OB=t,则OA=4﹣t.
∵△AOB≌△BMC,
∴CM=OB=t,
∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4,
∴C(4,t).
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C,
∴,
解得 b=t﹣4a;
(3)当t=1时,抛物线为y=ax2+(﹣4a)x,NA=OB=1,OA=3.
∵△AOB≌△DNA,
∴DN=OA=3,
∵D(3,4),
∴直线OD为:y=x.
联立方程组,得,
消去y,得
ax2+(﹣﹣4a)x=0,
解得 x=0或x=4+,
所以,抛物线与直线OD总有两个交点.
讨论:①当a>0时,4+>3,只有交点O,所以a>0符合题意;
②当a<0时,若4+>3,则a<﹣.
又a<0
所以 a<﹣.
若4+<0,则得a>﹣.
又a<0,
所以﹣<a<0.
综上所述,a的取值范围是a>0或a<﹣或﹣<a<0.
(4)抛物线为y=ax2+(﹣4a)x,则顶点坐标是(﹣,﹣(t﹣16a)2).
又∵对称轴是直线x=﹣+2=2﹣,
∴a=t2,
∴顶点坐标为:(2﹣,﹣(1﹣4t)2),即(2﹣,﹣(t﹣)2).
∵抛物线开口向上,且随着t的增大,抛物线的顶点向上移动,
∴只与顶点坐标有关,
∴t的取值范围为:0<t≤.
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如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( )
A. B. C. D.
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某校为了解学生对三种国庆活动方案的意见,对该校学生进行了一次抽样调查(被调查学生至多赞成其中的一种方案),现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息解答下列问题
(1)在这次调查中共调查了 名学生;扇形统计图中方案1所对应的圆心角的度数为 度;
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)已知该校有1000名学生,试估计该校赞成方案1的学生约有多少人?
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下表中,y是x的一次函数.
x | ﹣2 | 1 | 2 | 4 | 5 |
y | 6 | ﹣3 | ﹣6 | ﹣12 | ﹣15 |
(1)求该函数的表达式,并补全表格;
(2)已知该函数图象上一点M(1,﹣3)也在反比例函数y=图象上,求这两个函数图象的另一交点N的坐标.
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对参加某次野外训练的中学生的年龄(单位:岁)进行统计,结果如表:
年龄 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
人数 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 2 |
则这些学生年龄的众数和中位数分别是( )
| A. | 17,15.5 | B. | 17,16 | C. | 15,15.5 | D. | 16,16 |
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已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.下列结论:
①abc>0;②2a﹣b<0;③4a﹣2b+c<0;④(a+c)2<b2
其中正确的个数有( )
| A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连接AE.
(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.
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