【题目】如图,在正方形ABCD中,连接BD,点E为CB边的延长线上一点,点F是线段AE的中点,过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
(1)根据题意补全图形,猜想与
的数量关系并证明;
(2)连接FB,判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
【答案】(1)=
(2)
【解析】
(1)①按照题中要求补全图形即可;②如图1,连接AM,由已知条件易得MF是AE的垂直平分线,由此可得MA=ME,由四边形ABCD是正方形易得点A和点C关于BD对称,由此可得MA=MC,从而可得ME=MC,进而可得∠MEC=∠MCE;
(2)如图2,由已知易得∠MAD=∠MCD结合∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°,由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°,由此可得∠MAE+∠MEA=90°,从而可得∠AME=90°,结合点F是AE的中点可得MF=AE,结合在Rt△ABE中,BF=
AE即可得到BF=MF.
(1)①按题要求补全图形如下图所示:
②∠MEC=∠MCE,理由如下:
如图1,连接AM,
∵点F是AE的中点,FM⊥AE,
∴MA=ME,
∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点,
∴MA=MC,
∴ME=MC,
∴∠MEC=∠MCE;
(2)如图2,FB=FM,理由如下:
∵点M在正方形ABCD的对角线BD,
∴,
∴=
,
∵=
,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴,
∴,
∵ 点F是AE的中点,
∴
∵ 在△ABE中,∠ABE=90°,点F是AE的中点,
∴ ,
∴ .
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【题目】如图,已知数轴上点表示的数为
,点
表示的数为
,以
为边在数轴的上方作正方形ABCD.动点
从点
出发,以每秒
个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动,同时动点
从点
出发,以每秒
个单位长度的速度向点
匀速运动,到达
点后再以同样的速度沿数轴正方向匀速运动,设运动时间为
秒
.
(1)若点在线段
.上运动,当t为何值时,
?
(2)若点在线段
上运动,连接
,当t为何值时,三角形
的面积等于正方形
面积的
?
(3)在点和点
运动的过程中,当
为何值时,点
与点
恰好重合?
(4)当点在数轴上运动时,是否存在某-时刻t,使得线段
的长为
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】列方程解应用题,已知A,B两地相距60千米,甲骑自行车,乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地,乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时,乙出发1小时后刚好追上甲.
(1)求甲的速度;
(2)问乙出发之后,到达B地之前,何时甲乙两人相距6千米;
(3)若丙骑自行车与甲同时出发,沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过小时与乙相遇,求此时甲、丙两人之间距离.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数与反比例函数
(k≠0)的图象相交于点
.
(1)求k的值;
(2)点是y轴上一点,过点P且平行于x轴的直线分别与一次函数
、反比例函数
的图象相交于点
、
,当
时,画出示意图并直接写出a的取值范围.
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【题目】如图,在数轴上有两个长方形和
,这两个长方形的宽都是2个单位长度,长方形
的长
是4个单位长度,长方形
的长
是8个单位长度,点
在数轴上表示的数是5,且
两点之间的距离为12.
(1)填空:点在数轴上表示的数是_________ ,点
在数轴上表示的数是_________.
(2)若线段的中点为
,线段EH上有一点
,
,
以每秒4个单位的速度向右匀速运动,
以每秒3个单位的速度向左运动,设运动时间为
秒,求当
多少秒时,
.
(3)若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动,长方形
固定不动,当两个长方形重叠部分的面积为6时,求长方形
运动的时间.
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【题目】已知数轴上三点M,O,N对应的数分别为-1,0,3,点P为数轴上任意一点,其对应的数为x.
(1)MN的长为 ;
(2)如果点P到点M、点N的距离相等,那么x的值是 ;
(3)数轴上是否存在点P,使点P到点M、点N的距离之和是8?若存在,直接写出x的值;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动,同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动.设t分钟时点P到点M、点N的距离相等,求t的值.
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【题目】是线段
上任一点,
,
两点分别从
同时向
点运动,且
点的运动速度为
,
点的运动速度为
,运动的时间为
.
(1)若,
①运动后,求
的长;
②当在线段
上运动时,试说明
;
(2)如果时,
,试探索
的值.
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【题目】近段时间,“垃圾分类”一词频上热搜,南开中学初一年级开展了“垃圾分类”的主题班会.为了解同学们对垃圾分类知识的掌握情况,小南就“玻璃碎片属于什么垃圾”在初一年级随机抽取了若干名同学进行了抽样调查,并绘制了如下两隔不完整的统计图:
(1)本次抽样调查中,样本容量为______,扇形统计图中,类观点对应的圆心角度数是______度;
(2)请补全条形统计图:
(3)估计该校4000名学生中赞成观点的人数约有多少人?
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