Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：BM=CM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB的值为多少时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）四边形MENF是菱形（3）2：1

【解析】试题分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；

（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可；

（3）求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴A=∠D=90°，AB=DC，

∴M是AD的中点，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中， ，

∴△ABM≌△DCM（SAS），

（2）四边形MENF是菱形；理由如下：

∴E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，

∴EN是△BCM的中位线，

∴EN=CM=FM，EN∥FM，

∴四边形MENF是平行四边形，

同理：NF是△BCM的中位线，

∴NF=BM，

∴BM=CM，

∴EN=NF，

∴四边形MENF是菱形；

（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；理由如下：

∴AD：AB=2：1，M是AD的中点，

∴AB=AM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴∠AMB=45°，

同理：DMC=45°，∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，

由（2）得：四边形MENF是菱形，

∴四边形MENF是正方形；

故答案为：2：1．