Question

（2009•花都区一模）抛物线与坐标轴交点如图所示，一次函数y=k（x-2）的图象与该抛物线相切（即只有一个交点）．
（1）该一次函数y=k（x-2）图象所经过的定点的坐标为______；
（2）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（3）求该一次函数的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）图象所经过的定点，即无论k取何值，均有解析式成立，分析可得图象所经过的定点的坐标；
（2）根据题意设此抛物线的二次函数表达式为y=a（x-1）（x+2），易得a=1，即可得抛物线解析式；（3）根据题意一次函数的图象与二次函数的图象相切，即两个解析式只有一组解，联立令△=0，解可得k的值，故可得一次函数的表达式．
解答：解：
（1）该一次函数y=k（x-2）图象所经过的定点的坐标为（2，0）（2分）

（2）由已知，可设此抛物线的二次函数表达式为y=a（x-1）（x+2）（4分）
又由该抛物线与y轴交于点（0，-2），
可得a=1（5分）
∴该二次函数的表达式为y=（x-1）（x+2），即y=x²+x-2（6分）

（3）若一次函数y=k（x-2）的图象与二次函数y=x²+x-2的图象相切
则方程x²+x-2=k（x-2）有且只有一个根（8分）
即方程x²+（1-k）x+2（k-1）=0只有一个根
则△=（1-k）²-4×2（k-1）=0（10分）
解得k=1或k=9（12分）
∴该一次函数的表达式为：y=1×（x-2）或y=9（x-2）（13分）
即y=x-2或y=9x-18．（14分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．