Question

已知：关于x的一元二次方程-x²+（m+4）x-4m=0，其中0<m<4。
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）
（2）设抛物线y=-x²+（m+4）x-4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若点D的坐标为（0，-2），且AD·BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y₁）、F（2a，y₂）、G（3a，y₃）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y₁、y₂、y₃，且与n无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）将原方程整理，得x²-（m+4）x+4m=0，
∵（0<m<4），△=b²-4ac=[-（m+4）]²-4（4m）=m²-8m+16=（m-4）2>0
∴x=
∴x=m或x=4；
（2）由（1）知，抛物线y=-x²+（m+4）x-4m与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0），
∵A在B的左侧，0<m<4，
∴A（m，0），B（4，0），则AD²=OA²+OD²=m²+2²=m²+4
BD²=OB²+OD²=4²+2²=20
∵AD·BD=10
∴AD²·BD²=100
∴20（m²+4）=100，解得m=±1
∵0<m<4，
∴m=1，
∴m+4=5，-4m=-4，
∴抛物线的解析式为y=x²+5x-4；
（3）存在含有y₁、y₂、y₃，且与a无关的等式，如：y₃=3（y₁-y₂）-4（答案不唯一）；
证明：由题意可得y₁=-a²+5a-4，y₂=-4a²+10a-4，y₃=-9a²+15a-4，
∵左边=y₃=-9a²+15a-4，
右边=-3（y₁-y₂）-4=-3[（-a²+5a-4）-（-4a²+10a-4）]-4=-9a²+15a-4，
∴左边=右边，∴y₃=-3（y₁-y₂）-4成立。