Question

如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3

2

．当△CEF是直角三角形时，BD=______．

Answer 1

∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-∠CAD，
∠CAE=∠DAE-∠CAD=90°-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
①如图1，∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF=

2

2

AE=

2

2

×3

2

=3，
CF=AC-AF=5-3=2，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

32+22

=

13

，
∴BD=CE=

13

；
②如图2，∠CEF=90°时，∠AEC=135°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE，
则AG=DG=

2

2

AD=

2

2

×3

2

=3，
在Rt△ADG中，BG=

AB2-AG2

=

52-32

=4，
∴BD=BG-DG=4-3=1，
综上所述，BD=

13

或1．
故答案为：

13

或1．