Question

已知关于x的方程x²-2mx+n²=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边．
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两根x₁、x₂满足丨x₁-x₂丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m、n的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-2mx+n²=0，
∴△=4m²-n²，
又∵m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边，所以2m＞n，即三角形任意两边之和大于第三边，
故：4m²＞n²，即△=4m²-n²＞0，
故方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=2m，x₁x₂=n²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4m²-n²=64；
∵m，n分别是一个面积为4的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S_△=n××=4，
与4m²-n²=64联立方程，解得：n=2，m=；
分析：先根据一元二次方程的根与系数的关系知：x₁+x₂=2m，x₁x₂=n²，根据判别式即可证明有不相等的实根，再利用（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64可列方程4m²-n²=64；再根据m，n分别是一个面积为4的等腰三角形的腰与底边的长，可得到S_△=n××=4，与4m²-n²=64联立方程即可解得n，m的值；
点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式及等腰三角形的性质，难度较大，关键是正确灵活运用根与系数的关系进行解题．