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12.如图,正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,点M、N分别为AB、BC边上的点,且∠MON=90°,由OE平分∠MON交BC边于点E,连接ME.则下列结论:
①△BOM≌△CON;②ME=EN;③BE2+CN2=ON2;④EO2=EN•EC.
其中正确的结论是①②④(填写所有正确结论的序号)

分析 ①正确.根据ASA即可证明;
②正确.只要证明△EOM≌△EON,可得EM=EN;
③错误.易证BE2+CN2=EM2,显然EM≠ON,故③错误;
④正确.只要证明△OEN∽△CEO,可得$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$,由此即可证明;

解答 解:∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBM=∠OCN=45°,AC⊥BD,
∴∠MON=∠BOC=90°,
∴∠BOM=∠CON,
在△BOM和△CON中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CON}\\{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCN}\end{array}\right.$,
∴△BOM≌△CON,故①正确,
∴OM=ON,BM=CN,
∵∠EON=∠EOM=45°,EO=EO,
∴△EOM≌△EON,
∴EM=EN,故②正确,
在Rt△EMB中,BE2+BM2=EM2
∴BE2+CN2=EM2,显然EM≠ON,故③错误,
∵∠EON=∠ECO,∠OEN=∠OEC,
∴△OEN∽△CEO,
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$,
∴OE2=EN•EC,故④正确.
故答案为①②④

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考常考题型.

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