Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示运动时间（0≤t≤6）．
（1）分别用含有t的代数式表示AP和AQ．
（2）当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得AD=BC=6，根据速度公式得到DQ=t，AP=2t，则AQ=6-t；
（2）由于∠QAP=∠ABC=90°，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BCA或当$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BC}$时，△AQP∽△BAC，然后分别利用相似比得到关于t的方程，再解方程求出t的值即可．

解答 解：（1）AP=2t，AQ=6-t，
（2）∵∠QAP=∠ABC=90°，
∴当$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BCA，即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，解得t=3；
当$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BC}$时，△AQP∽△BAC，即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，解得t=$\frac{6}{5}$．
答：当t$\frac{6}{5}$s或3s时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了通过代数法解决动点问题的方法．