Question

14．已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B，CD过B点且CD⊥AB交⊙O₁于C，交⊙O₂于D，连结AC、AD
（1）求证：AC、AD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径；
（2）连结O₁O₂，O₂B，当AC=AD时，求证：四边形O₁CBO₂为平行四边形；
（3）当AC=AD时，过B的直线交AC于E交BD于F，判定∠AEB与∠ABE的大小关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理的推论易得AC是⊙O₁的直径，同理可证AD是O₂的直径；
（2）根据中位线定理求得O₁O₂∥CD且O₁O₂=$\frac{1}{2}$CD=CB，所以四边形O₁CBO₂是平行四边形；
（3）根据已知条件“AC=AD”推知⊙O₁与⊙O₂是等圆，然后根据圆周角定理证得∠AEB与∠AFB相等．

解答 （1）证明：如图（1）∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴AC是⊙O₁的直径．
同理，可知AD是⊙O₂的直径；

（2）证明：如图（1），连接O₂B．
由（1）知，AD是⊙O₂的直径．
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．
∵O₁、O₂分别是AC、AD的中点，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=$\frac{1}{2}$CD=CB．即O₁O₂∥CB且O₁O₂=CB．
∴四边形O₁CBO₂是平行四边形．

（3）∠AEB=∠AFB．理由如下：
∵AC=AD，
∴⊙O₁与⊙O₂是等圆．
∴∠AEB=∠AFB（在等圆中，等弧所对的圆周角相等），即∠AEB与∠AFB相等．

点评 本题考查了圆的综合题，用到的知识点有圆周角定理及其推论、三角形中位线定理、平行四边形的判定，在证明（3）时，需要熟记“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”这一圆周角定理是解题关键．