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    已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
     
    （1）求AP的长；
    （2）求证：点P在∠MON的平分线上；
    （3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.
    ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；
    ②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

    （1）4；（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；（3）①8+4；②4+4＜t≤8+4

    解析试题分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q，先根据等腰三角形的性质求得AQ的长，∠APQ的度数，在Rt△APQ中，根据∠APQ的正弦函数即可求得结果；
    （2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；
    （3）根据三角形的中位线定理即可求得结果.
    （1）过点P作PQ⊥AB于点Q 
    ∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，
    ∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°
    在Rt△APQ中，sin∠APQ=
    ∴AP=＝4
    （2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T

    ∴∠OSP=∠OTP=90°
    在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
    ∴∠APB=∠SPT=120°
    ∴∠APS=∠BPT
    又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
    ∴△APS≌△BPT
    ∴PS=PT
    ∴点P在∠MON的平分线上；
    （3）①8+4 
    ②4+4＜t≤8+4.
    考点：等腰三角形的性质，正弦函数，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理
    点评：解答本题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，同时熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

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    （1）求证：AF=DM；
    （2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；
    （3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．

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    （2）设∠M=30°，求证：MN=4CD．

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    （1998•河北）已知：如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，BE切⊙O于B，且BE=BC，CE交AB于F、交⊙O于M，连接MO并延长，交⊙O于N．则下列结论中，正确的是（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=15，cos∠A=
    45
    ．点M在AB边上，AM=2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA=x．
    （1）求底边BC的长；
    （2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
    （3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年上海市闸北区中考一模数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本题满分14分 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

    已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．

    （1）求底边BC的长；

    （2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；

    （3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

     

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