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在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3,0),B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.

(1)a= ,b= ,顶点C的坐标为 .

(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.

(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.

(1),C(﹣1,4);(2)存在,点D(0,3)或(0,1);(3)P()或().

【解析】

试题分析:(1)将A(﹣3,0)、B(1,0),代入求出即可,再利用平方法求出顶点坐标即可;

(2)首先证明△CED∽△DOA,得出y轴上存在点D(0,3)或(0,1),即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形;

(3)首先求出直线CA的解析式为,再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标,再利用若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH得出答案即可.

试题解析:(1)将A(﹣3,0)、B(1,0),代入得:,解得:,∴,∴,顶点C的坐标为(﹣1,4);

(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E.由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,∴△CED∽△DOA,∴.设D(0,c),则.变形得,解之得.综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),使△ACD是以AC为斜边的直角三角形;

(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.延长CP交x轴于M,∴AM=CM,∴.设M(m,0),则,∴m=2,即M(2,0).设直线CM的解析式为,则:,解得:.∴直线CM的解析式为:.联立,解得:(舍去).∴P().

②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△AHC,得∠PCQ=∠ACH.过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N.由△CFA∽△CAH得,由△FNA∽△AHC得.∴AN=2,FN=1,CH=4,HO=1,则AH=2,∴点F坐标为(﹣5,1).设直线CF的解析式为,则,解得:.∴直线CF的解析式为:.联立:,解得:(舍去).∴P().

∴满足条件的点P坐标为()或().

考点:1.二次函数综合题;2.压轴题.

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