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    如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根．

    1.求这条抛物线的解析式；

    2.点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

    3.探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

     

     

    1.∵x2-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0.∴x1=4,x2=-2.

    　　      ∴A(4,0) ,B(-2,0)

    又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，

    ∴ 　　∴

    　     ∴所求抛物线的解析式为y＝－x2 ＋x＋4

    2.设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.

     

    　　       ∵点B坐标为(-2，0)，点A坐标(4,0)，

    　　       ∴AB=6， BP=m+2.

    　　       ∵PE∥AC，

    　　       ∴△BPE∽△BAC.

    　　       ∴.

    　　       ∴.∴EG＝

    　　       ∴S△CPE= S△CBP- S△EBP=BP•CO－BP•EG

    　　       ∴(m＋2)（4－）.＝－m 2 ＋m＋

    　　       ∴ (m－1) 2 ＋3

    　　       又∵-2≤m≤4，

    　　       ∴当m=1时，S△CPE有最大值3.

    此时P点的坐标为(1，0).

    3.存在Q点，其坐标为Q1(1，1)，Q2(1，)，Q3.(1，－)，

    　　       Q4. (1，4＋)，Q5. (1，4－)．                             5分

    解析:（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

    （2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．

    （3）本题要分三种情况进行讨论：

    ①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．

    ②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．

    ③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
    （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
    （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
    （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
    （3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是
    		10
    +5
    		10
    +5
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根，且OB＜OC．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
    （3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
    （3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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