Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若CF=6，AC=AF+2，则四边形BDFG的周长为（　　）

• A． 9.5
• B． 10
• C． 12.5
• D． 20

Answer 1

分析 首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值，进而得出答案．

解答 解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设AF=x，则AC=x+2，FC=6，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即x²+6²=（2+x）²，
解得：x=8，
故AC=10，
故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20．
故选：D．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．