Question

21、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，结合BD=CD即可证明AB=AC；
（2）连接OD．根据三角形的中位线定理，得OD∥AC，结合DE⊥AC，即可证明OD⊥DE，从而证明DE是⊙O的切线．

解答：证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC．

（2）连接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、线段垂直平分线定理、三角形的中位线定理、平行线的性质以及切线的判定定理．