Question

如图，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径的⊙O交AC于点E，点G是AD的中点．
求证：GE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：由CD为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠CED为直角，根据邻补角的定义可得∠AED为直角，又G为斜边AD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为AD的一半，又G为AD中点，可得GD为AD的一半，等量代换可得GE与GD相等，根据等边对等角可得一对角相等，由半径OE与OD相等，也根据等边对等角得到一对角相等，两个等式左右相加可得∠OEG与∠ODG相等，由已知∠ADC为直角，可得∠OEG为直角，利用切线的判定方法可得出EG与圆O相切，得证．

解答：
证明：连接OE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
又G为AD的中点，
∴EG=

1

2

AD=DG，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，即∠OEG=∠ODG，
∵∠ODG=90°，
∴∠OEG=90°，
∴GE为⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化的思想，其中切线的判定方法有两种，分别为：有点连接此点与圆心，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．