Question

3．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，DA，CB的延长线交于点P．
求证：PA•PD=PB•PC+AB•CD．

Answer 1

分析 延长PC至E，连接DE，令∠E=∠BAP，由∠ABC=∠DCB，得到∠ABP=∠DCE，于是得到△APB∽△EDC∽△EPD，根据相似三角形的性质得到$\frac{PA}{ED}=\frac{PB}{CD}=\frac{AB}{CE}$，$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PE}=\frac{AB}{DE}$，求出AB•CD=PB•CE，化简等式即可得到结论．

解答 证明：延长PC至E，连接DE，令∠E=∠BAP，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABP=∠DCE，
∴△APB∽△EDC∽△EPD，
∴$\frac{PA}{ED}=\frac{PB}{CD}=\frac{AB}{CE}$，$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PE}=\frac{AB}{DE}$，
∴AB•CD=PB•CE，
∴PA•PD=PB•PE=PB（PC+CE）=PB•PC+PB•CE，
∴PA•PD=PB•PC+AB•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．