Question

如图1，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，点C是劣弧上一动点，点C不与点A、B重合，CD⊥AB于D，以点C为圆心，线段CD的长为半径作圆．
（1）若设CD=x，AC•BC=y，请求出y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）当⊙C的面积最大时，在图2中过点A作⊙C的切线AG切⊙C 于点P，交DC的延长线于点G，DC的延长线交⊙C于点F
①试判断直线AG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②求线段GF的长．

Answer 1

解：（1）如图1，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接BE．
∵CE是直径，
∴∠CBE=90°．
又∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°．
即∠CBE=∠CDA．
在⊙O中，可知∠CAB=∠E．
∴△ACD∽△ECB．
∴，
即AC•BC=CD•EC．
∴y=10x．
由题意可知，自变量x的取值范围为0＜x≤2．

（2）①直线AG与⊙O相切．
由题意可知，当点C是的中点时，⊙C的面积最大．
此时，OC⊥AB．∴AB与⊙C相切．
∵AG切⊙C于点P，AC平分∠GAB．即∠GAC=∠BAC．
连接CP，AO．
∵AP=AD，PC=DC，AC=AC，
∴△APC≌△ADC．
∴∠ACP=∠ACD．
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC．
∵AG切⊙C于点P，
∴PC⊥AG于G．
∴∠GAC+∠ACP=90°．
∴∠GAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AG．
∴AG与⊙O相切．
②∵PC⊥AG，OA⊥AG，∴PC∥AO．
∴△PGC∽△AGO．
∴．
由题意可知，PC=FC=2，AO=CO=5，GC=GF+FC．
∴．
解得．
分析：（1）如图1，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接BE．由题意得∠CBE=∠CDA．可证明△ACD∽△ECB．则再化为乘积式AC•BC=CD•EC，即可得出y=10x．由题意可知，自变量x的取值范围为0＜x≤2．
（2）①直线AG与⊙O相切．由题意可得出AB与⊙C相切．根据AG切⊙C于点P，AC平分∠GAB．即∠GAC=∠BAC．连接CP，AO．可证明△APC≌△ADC．则∠ACP=∠ACD．由AG切⊙C于点P，则PC⊥AG于G．从而得出∠GAC+∠OAC=90°．则OA⊥AG．即AG与⊙O相切．
②可证明PC∥AO．则△PGC∽△AGO．即．代入数据得出GF．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．