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已知四边形有一个内角为120°,一条对角线把四边形分成一个等边三角形和一个直角三角形,且该对角线长为2,求该四边形的面积.
考点:二次根式的应用
专题:
分析:首先由等边三角形的性质得出∠CAB=60°,AC=BC=AC=2,根据三角形的面积公式求出S△ABC=
1
2
AB•(AC•sin∠CAB)=
1
2
×2×(2×
3
2
)=
3
.然后在Rt△ADC中,求出∠CAD=∠DAB-∠CAB=60°.再分两种情况进行讨论:①∠D=90°;②如果∠ACD=90°.分别求出S△ADC,再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可求解.
解答:解:如图,四边形ABCD中,∠DAB=120°,AC把四边形分成等边三角形ABC和一个直角三角形ADC,AC=2.
∵三角形ABC中,AC=2,
∴∠CAB=60°,AC=BC=AC=2,
∴S△ABC=
1
2
AB•(AC•sin∠CAB)=
1
2
×2×(2×
3
2
)=
3

在Rt△ADC中,∠CAD=∠DAB-∠CAB=120°-60°=60°.
分两种情况:
①如果∠D=90°,如图1,
∵∠ACD=30°,AC=2,
∴AD=
1
2
AC=1,CD=
3
AD=
3

∴S△ADC=
1
2
AD•CD=
1
2
×1×
3
=
3
2

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=
3
+
3
2
=
3
3
2

②如果∠ACD=90°,如图2,
∵∠D=30°,AC=2,
∴CD=
3
AC=2
3

∴S△ADC=
1
2
AC•CD=
1
2
×2×2
3
=2
3

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=
3
+2
3
=3
3

综上所述,该四边形的面积为
3
3
2
或3
3
点评:本题考查了二次根式的应用,等边三角形、直角三角形的性质,进行分类讨论是解题的关键.
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2
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k
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1
2
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